三角和 $\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i f(x)/q}$ 的估计
定理. 设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $k$ 次整系数多项式,
\[f(x)=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1 x+a_0.\]
若 $(a_k,a_{k-1},\ldots,a_1,q)=1$, 则
\[
\biggl|\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i f(x)/q}\biggr|\leqslant c_1(k,\varepsilon)q^{1-\frac{1}{k}+\varepsilon}
\]
此处 $\varepsilon$ 是任一正数.
若记 $e_q(f(x))=e^{2\pi i f(x)/q}$, 及
\[
S(q,f(x)):=\sum_{x=1}^{q}e_q(f(x)),
\]
则定理可表述为:
Thm. 任给 $\varepsilon > 0$, 存在依赖于 $k$ 及 $\varepsilon$ 的正常数 $c_1(k,\varepsilon)$, 使得三角和 $S(q,f(x))$ 有如下估计
\[
\bigl|S(q,f(x))\bigr|\leqslant c_1(k,\varepsilon)\cdot q^{1-\frac{1}{k}+\varepsilon}
\]
参考 [1] P. 13, 第一章 定理1.
References:
[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)